Conjuntos Numéricos (Verificador de Conjuntos)

Conjunto é a reunião de elementos que possuem características semelhantes, sendo os conjuntos numéricos, a representação daqueles que possuem os números como elementos exclusivos.

Os conjuntos numéricos possuem uma grande importância não só no campo da Exatas, para representar um intervalo de valores, mas também em nosso cotidiano, por exemplo, quando pedimos uma dúzia de ovos, medimos a circunferência abdominal ou até mesmo escutamos a temperatura em certa região, estamos lidando de uma forma implícita com conjuntos.

1. Simbologia

A simbologia é um recurso necessário para representar de forma resumida o que queremos dizer matematicamente.

* (asterisco) sobrescrito ao símbolo do conjunto numérico significa que excluímos o zero do conjunto.

+ (positivo) subscrito ao símbolo do conjunto numérico significa que excluímos os números negativos do conjunto.

– (negativo) subscrito ao símbolo do conjunto numérico significa que excluímos os números positivos do conjunto.

Segue logo a seguir uma tabela com os principais símbolos matemáticos.

simbologia
Tabela 1 – Lista das principais simbologias matemáticas

2. Conjuntos numéricos

2.1 Números Naturais (\mathbb{N})

O conjunto dos números Naturais é formado pelos números inteiros não-negativos.

a) Na integra

\mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, …}

b) Não incluindo o zero

\mathbb{N}^*= {1, 2, 3, …}  ou  \mathbb{N} – {0} ou { X ∈ \mathbb{N} / X > 0 }

2.2 Números Inteiros (\mathbb{Z})

Os números Inteiros são constituídos pelo conjunto dos números naturais (incluindo o zero) e os números negativos simétricos deste conjunto, isto é, opostos (não-positivos).

a) Na integra

\mathbb{Z} = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

b) Não inclui o zero

\mathbb{Z}* = {…, -3, -2, -1, 1, 2, 3 …} ou \mathbb{Z} – {0} ou { X ∈ \mathbb{Z} / X < 0 ou  X > 0 }

c) Não inclui os números negativos simétricos (inteiros não-positivos)

\mathbb{Z}+ = {0, 1, 2, 3 …} ou \mathbb{Z}\mathbb{Z} ou { X ∈ \mathbb{Z} / X ≥ 0 }

\mathbb{Z}+ = \mathbb{N}

d) Não inclui os números Naturais (inteiros não-negativos)

\mathbb{Z} = {…, -1, -2, -3, 0} ou \mathbb{Z}\mathbb{Z}+ ou { X ∈ \mathbb{Z} / X ≤ 0 }

e) Não inclui os números negativos simétricos e o zero (inteiros positivos)

\mathbb{Z}*+ = {1, 2, 3 …} ou \mathbb{Z}*\mathbb{Z}* ou { X ∈ \mathbb{Z} / X > 0 }

\mathbb{Z}*+ = \mathbb{N}^*

f) Não inclui os números Naturais e o zero (inteiros negativos)

\mathbb{Z}* = {…, -1, -2, -3} ou \mathbb{Z}*\mathbb{Z}*+ ou { X ∈ \mathbb{Z} / X < 0 }

Observação: Dizemos números não-negativos ou não-positivos ao invés de negativos ou positivos pelo fato de o zero ser um elemento neutro.

2.3 Números Racionais (\mathbb{Q})

O conjunto dos números Racionais é aquele, no qual, conseguimos expor um número em uma forma fracionária, isto é, na forma a/b. Para existir esta ocorrência é necessário que a \mathbb{Z} e b ∈ \mathbb{Z}*, ou seja, “a” poderá ser qualquer número inteiro e “b” qualquer número inteiro diferente de zero.

\mathbb{Q}=\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}\end{matrix}\,|\,a\in\mathbb{Z}\,;\,b\in\mathbb{Z^{*}}\right\}.

a) Na integra

\mathbb{Q} = {…, -3/2, -2/3, -1, 0, 1/2, 7/9, √4, …}

b) Não inclui o zero

\mathbb{Q}* = {…,3/2, -2/3, -1, 1/2, 7/9, √4…} ou \mathbb{Q} – {0} ou { X ∈ \mathbb{Q} / X < 0 ou  X > 0 }

c) Não inclui os números Inteiros não-positivos com pares ordenados (fração)

\mathbb{Q}+ = {0, 1/2, 7/9, √4, …} ou \mathbb{Q} \mathbb{Q}–  ou { X ∈ \mathbb{Q} / X ≥ 0 }

d) Não inclui os números Inteiros não-negativos com pares ordenados (fracão)

\mathbb{Q} = {…, -3/2, -2/3, -1, 0} ou \mathbb{Q}\mathbb{Q}+ ou { X ∈ \mathbb{Q} / X ≤ 0 }

e) Não inclui os números negativos negativos com pares ordenados (fração)

\mathbb{Q}*+= {1/2, 7/9, √4, …} ou \mathbb{Q}*\mathbb{Q}* ou { X ∈ \mathbb{Q} / X > 0 }

f) Não inclui os números negativos positivos com pares ordenados (fração)

\mathbb{Q}* = {…, -3/2, -2/3, -1} ou \mathbb{Q}*\mathbb{Q}*+ ou { X ∈ \mathbb{Q} / X < 0 }

Observação: É importante ressaltar que um numero inteiro {-2,-1,3,6} podem ser colocadas no formato de fração a/b, com b igual a 1.

2.4 Números Irracionais ( \mathbb{I}.)

Os números Irracionais são aqueles números em que não conseguimos expor em forma fracionária, ou seja, dízima periódica simples ou composta. Exemplos de números que compõe esse conjunto são:

2 = 1.4142135…

 \pi \cong 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058

 e=2{,}718\;281\;828\;459\;045\;235\;360\;287\;471\;352\;662\;497\;757\;247

Observação: Os números Irracionais não contemplam os conjuntos N, Z e Q; ele é um conjunto isolado que esta contido no conjunto dos Reais (R) que por sua vez esta contido no conjunto dos números Complexos (C).

2.5 Números Reais (\mathbb{R}\,)

Os números Reais são aqueles que engloba todos os conjuntos supracitados, como definição podemos dizer que é o conjunto de todos os números que possui representação decimal exata, dízima periódica (números racionais) e representação decimal não exata, dízima não periódica (números irracionais).

Números Reais (Racionais + Irracionais)
Fonte: Estrutura esquemática extraída do site Objetivo (Conteúdo Online)

Observação: É o conjunto que abrange todos os já mencionados, quando resolvemos uma equação ou sistema geralmente a resposta enquadra-se neste conjunto.

2.6 Números Complexos (\mathbb{C})

O conjunto dos números Complexos veio para suprir uma necessidade matemática para raízes negativas, no qual matemáticos se deparavam. Sendo assim um numero complexo (z) é composto de uma parte Real (x) e Imaginária (y).

z = x + yi

Unidade imaginária é representada por i, sendo i = √-1.

Observação: Diferente do que muitos pensam os números imaginários (i) existem, digamos que a escolha do nome não foi a melhor, pois induz a uma interpretação equivocada.

3. Representação Resumida e Diagrama dos Conjuntos Numéricos

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots

Leitura: Naturais esta contido em Inteiros, que por sua vez esta contido em Racionais, que por sua vez esta contido em Reais e que por sua vez esta contido em Complexos.

conjuntos_numericos
Figura 1 – Diagrama esquemático dos conjuntos numéricos

Observação: O conjunto dos números Complexos contém o conjuntos dos números Reais e Irracionais.

4. Verificador de Conjuntos Numéricos

4.1 Benefícios

O verificador de Conjuntos Numéricos tem por intenção auxiliar alunos e professores com ferramentas de ensino digital.  Este verificador possibilitará um melhor entendimento e fixação do conteúdo por parte do aluno, de uma forma didática, interativa e ilustrativa.

4.2 Como funciona?

O manuseio desta ferramenta é bem simplificado, segue imagem logo abaixo.

verificador
Figura 2: Funcionamento do Verificador de Conjuntos

1: Selecione um dos conjuntos: N (Naturais), Z (Inteiros), Q (Racionais), I (Irracionais), R (Reais) e C (Complexos).

2: A tabela mostrará o conjunto selecionado (sigla em branco com fundo vermelho) e quais aqueles que contém este conjunto (visto em vermelho).

3: O diagrama destacará quais são os conjuntos que estão contidos no conjunto selecionado (área colorida).

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Bons estudos, e espero que tenham gostado!

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